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Demostrar(Usando la definición de Límite) que si  

lim_x→af(x) = +∞  y  lim_x→ag(x) = L < 0  Entonces lim_x→af(x).g(x) = -∞

Hola,


Si Lim f(x) → ∞  cuando x → a   =>  

∀ K > 0, ∃δ > 0 / |x - a| < δ   =>    f(x) > K


Si Lim g(x) → L < 0  cuando x → a   =>  

∀ ξ > 0, ∃δ' > 0 / |x - a| < δ'   =>    |g(x) - L| < ξ


Si Lim f(x)·g(x) → -∞  cuando x → a   =>  

∀ K' < 0, ∃δ'' > 0 / |x - a| < δ''   =>    f(x)·g(x) < K'    (esto es lo que hay que probar)

Si tomamos como δ'' el menor de los δ y δ'

f(x) > K      para   |x - a| < δ''

-ξ < g(x) - L < ξ        =>      L - ξ < g(x) < L + ξ     para   |x - a| < δ''


Ahora habría que probar que f(x)·g(x) < K'     para   |x - a| < δ''    ∀K' < 0

y aquí me atranco.