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1- Dada la función f(x)=ax² + bx + c , determinar los valores de a, b y c, sabiendo
que la gráfica de pasa por los puntos (0,3) y (1,4) y que la recta y=4 es tangente a dicha gráfica.

2-¿para qué valor de a la recta ax+y=Ln3 es tangente a la curva F(x)=Ln(x+2)/Ln(x+1) en el punto de abcisa x=0?


muchisemas gracias

Hola,

f(0) = 3    =>    c = 3
f(1) = 4    =>   4 = a + b + 3     =>    a + b = 1

La recta y = 4 tiene pendiente 0. Su derivada en algún 'x = k' es cero:

f'(k) = 2ak + b = 0    =>    k = -b/2a

f(k) = 4  =>   f(x) = ax² + bx + 3    =>   f(k) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + 3 = 4

b²/4a - b²/2a = 1     =>      b²/4a - 2b²/4a = 1     =>    -b²/4a = 1   =>    -b² - 4a = 0

b² + 4a = 0  =>  a =-b²/4

Resolviendo con  a + b = 1:

-b²/4 + b = 1  =>   b² - 4b + 4 = 0      =>   (b - 2)² = 0     =>    b = 2    =>   a = -1

La función buscada es:

f(x)=-x² + 2x + 3

F(0) no existe ya que daría Ln2/0

La función F(x) no está definida en cero (no pertenece a si dominio) y no tiene tangente en ese punto x = 0.