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Hola.

Para demostrar que la serie de Taylor de una función representa a dicha función en todo su dominio lo que hago es ver que el resto de Taylor tiende a cero, es decir que el error que se comete al evaluar en la serie es nulo. La cuestión es que al final siempre me encuentro con algo similar a esto:

          xⁿ
Lim    ----
^n→∞     n!

Que vale cero pero no se como desmostrarlo exactamente ¿Como puedo verificar que esa expresión tiende a cero?

Saludos

Mira si te sirve esto:

Fórmula de Stirling:

n! ≅ n·Ln - n

Tanto más cierto cuanto más grande sea n.

Fórmula de Stirling (Wiki)

Gracias no sabía nada sobre esa función, voy a mirarlo.

También he encontrado una forma de demostrarlo aunque sea algo rebuscada:

                                _∞    xⁿ
Si consideramos la serie Σ   ----     
                               ⁿ⁼⁰   n!
sabemos que esa serie converge porque ademas es la serie de Taylor de la funcion exponencial.

De todos modos aplicamos por ejemplo el criterio de d'Alembert para demostrar que converge. Y como una condición necesaria para que una serie infinita converja es que su sucesión asociada tienda a cero pues tenemos que obligatoriamente

          xⁿ
Lim    ----  =  0
^n→∞    n!

De todo esto también podemos concluir por ejemplo que  Lim    (n!) ^1/n = ∞
                                                                           ^n→∞

En realidad ha sido como dar un rodeo, pero bueno sirve para comprobarlo.

Saludos