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Hola, que tal?? Bueno tengo problemas para obtener el Dominio y el rango de las siguientes funciones, por favor me podrían explicar cómo se hace??

a) f(x)=√(x²-4)
b) f(x)=x/(x+3)
c) f(x)=x/(x²+4)
d) f(x)=x/√(-x+1)

GraciasS!!

Hola Maryvellev.

Las funciones hacen corresponder a un número x otro número y. Hay veces que ciertos 'x' no tiene su correspondiente 'y'. Este número no pertenece al dominio de la función. ¿Qué razones puede haber para que un 'x' no tenga imagen?. Pues fundamentalmente tres:

1) Que anule el denominado (no se puede dividir por cero)
2) Que haga en una raíz par el radicando negativo (los negativos no tienen raíces pares).
3) Por la propia naturaleza de la función (los logaritmos están definidos para x>0)

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b) f(x)=x/(x+3)

x + 3 = 0   =>  x = -3  (este no pertenece al dominio por la razón 1))

Dominio = {x∈ℝ / x≠-3]    o     (-∞,-3)U(-3,∞)


c) f(x)=x/(x²+4)

Todo ℝ ya que x²+4 siempre es distinto de cero. Todos tienen imagen.


d) f(x)=x/√(-x+1)

Para que exista la raíz -x+1 > 0 (el igual valdría pero anula al denominador)

-x > -1   =>  x < 1

a) f(x)=√(x²-4)

Vamos a ver cuando x²-4 es mayor que cero.

x²-4 =(x-2)·(x+2) ≥ 0   si    x ≤ -2     o    x  ≥ 2

(-∞,-2]U[2,∞)

El corchete incluye a los extremos. El paréntesis, no.

Para hallar el rango se hace el dominio de la función inversa.

Por ejemplo:

f(x)=√(x²-4) = y

Despejamos la x. Primero elevamos al cuadrado:

x²-4 = y²

x = √y² + 4

Como y² + 4 es siempre positivo, su dominio es ∀ℝ  =>   Rango de f(x) es ∀ℝ



f(x)=x/(x+3) = y

x = yx + 3y

x - yx = 3y

x(1-y) = 3y

x = 3y/(1-y)

El dominio de la inversa es todo ℝ menos el y=1 (anula al denominador)  =>  Rango de f(X) es ∀ℝ - {1}   o    (-∞,1)U(1,∞)


Todos se hacen igual.