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Quería afirmar si el siguiente ejercicio lo tengo correctamente resuelto:

Hallar el dominio natural de la siguiente función: √log[|x-6|(1+|x-3|)]

Supuestamente, el dominio de √f(x) deben ser todos los valores  de x que hagan el radicando
>=0. Entonces log[|x-6|(1+|x-3|) >=0. Ahora estudio f(x), verificando los valores absolutos:

|x-6|= x-6 si  x > 6
|x-6|= 6-x si x < 6
|x-3|= x-3 si x >3
|x-3|= 3-x si x < 3

Luego verifico la función para dichos intervalos, (6,+inf), (3,6) y (-inf,3), para confirmar el dominio. ¿ Es correcto?

Finalmente lo he resuelto de la siguiente manera, yo creo que es correcto:

Se supone que el dominio de una raiz de indice par, son todos los valores que hacen el radicando
valga un valor positivo o 0. Por tanto resuelvo la desigualdad siguiente:

log((|x-6|)(1+|x-3|)) ≥ 0

Por tanto, verifico la inecuación para los siguientes intervalos: (-∞,3),(3,6) y (6,+∞)

Para (-∞,3), la desigualdad queda: (6-x)(4-x)≥0
*Una solución son para todos los valores de x < 4, por tanto deduzco que los valores de x
que verifican la desigualdad son todos los valores de x < 3.

Para (3,6), la desigualdad queda: (6-x)(x-2)≥0
*La solución de la inecuación es 2<x<6, por tanto, los valores que verifican la
desigualdad del enunciado son 3<x<6.

Para (6,+∞), la desigualdad queda: (x-6)(x-2)≥0
*La solución que nos interesa son los valores de x > 6

Por tanto, el dominio de la función es R-{6} ya que el 6 hace que el logaritmo valga 0, y no existe el logaritmo de 0.

Creo que es correcto, espero vuestras sugerencias, Gracias

Hola.

Dominio de √log f(x)

Como hay una raíz, el log f(x) debe ser mayor que cero, para lo cual f(x) ≥ 1  (siempre que la base del log sea mayor que 1)

((|x-6|)(1+|x-3|)) ≥ 1  =>

(|x-6|)(1+|x-3|) - 1 ≥ 0

Gracias por la información