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Hola de nuevo, me pueden ayudar con el siguiente problema??

Sean f,g: ℝ→ℝ. ¿Cómo son f+g, f·g  y fοg (g compuesta con f) (disculpen, no me apareció el símbolo de composición) si:

a) f y g son pares
b) f y g son impares
c) f es par y g es impar
d) f es impar y g es par
Justifique.

Las demostraciones no son lo mío

Gracias!!

Hola Maryvellev.

La estrategia es la siguiente. Partimos de que f y g son pares. Esto quiere decir que:

f(-x) = f(x) ∀x∈ℝ
g(-x) = g(x) ∀x∈ℝ

Tenemos que ver que es (f+g)(x). Para ello escribimos:

(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) =      Por la definición de suma de funciones.

=  f(x) + g(x) =    Por la hipótesis planteada al principio.

= (f+g)(x)    Por la definición de suma de funciones.

Luego la suma de funciones pares es también par.

De forma muy similar es la del producto ya que (f·g)(x) = f(x)·g(x). Como ninguna de los dos cambia de signo, tampoco lo hace el producto. Es par

Vamos a hacer la composición de f y g partiendo de la base de que ambas son pares:

(fog)(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = (fog)(x)

También es par

f(-x) = -f(x) impar
g(-x) = g(x) par

Salto al último:

Suma:

(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x) = -f(x)+g(x) = (g-f)(x)

La suma no es ni par ni impar. Para que fuera par tenía que haber dado:

(f+g)(-x) = (f+g)(x)

y para que fuera impar:

(f+g)(-x) = -(f+g)(x)

Producto de impar por par:

(f·g)(-x) = f(-x)·g(-x) = -f(x)·g(x) = -(f·g)(x) . Es impar.

Composición:

(fog)(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = (fog)(x) Es par

Intenta hacer los demás. Esta es la forma. Si quieres puedes escribirlo aquí y lo corregimos.