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Hola buenas tardes!
El otro día mirando unos ejercicios de selectividad, en un problema de límites, en el que hay que aplicar el conjugado, en el denominador quedaba: √(n⁴ + 2n³-3) + √(n⁴ - n).
Directamente de esa expresión la profesora pasó a n²+n². Le he dado mil vueltas y no soy capaz de hallar los pasos intermedios.Muchas gracias de antemano.

El límite es:

lim   √(n⁴ + 2n³ - 3) - √(n⁴-n) /(n+5)
x→∞

Un saludo∞∞

Por lo que comentas del límite y del conjugado me imagino que la expresión sería:

√(n⁴ + 2n³-3) + √(n⁴ + n²)

que pienso que el signo más entre las raíces sería un menos para que fuera indeterminado ∞-∞

Al multiplicar por el conjugado: √(n⁴ + 2n³-3) - √(n⁴ + n²) quedaría:

suma por diferencia, diferencia de cuadrados.

(√(n⁴ + 2n³-3))² - (√(n⁴ + n²))² =

(n⁴ + 2n³-3) - ((n⁴ + n²) = 2n³ + n² - 3

Luego por lo que dices de que daba n²+n² debe haber algún cambio en la expresión.

Esa es la expresión que me queda en el numerador, la que escribí se encuentra en el denominador, es el conjugado de la expresión de numerador y es la que tengo que despejar. Para explicarme mejor pondré el limite entero:

lim   √n^a + 2n³ - 3 - √n⁴-n /n+5.
x→∞

La división afecta a todo el límite y al resolverlo por el conjugado queda la expresión que escribí en el otro mensaje,  tengo que resolverla ya que me queda ∞/∞. No se si ahora me he explicado mejor. Gracias de antemano.
Un saludo

Multiplicando y dividiendo por el conjugado queda:



　　　n⁴ + 2n³ - 3 - (n⁴-n)
---------------------------------------=
[√(n⁴ + 2n³ - 3) + √(n⁴-n)]·(n+5)


　　　　　2n³ - n - 3
---------------------------------------- =
[√(n⁴ + 2n³ - 3) + √(n⁴-n)]·(n+5)

Dividimos por n³ numerador y denominador, pero abajo lo hacemos descomponiendolo en n²·n. El n² lo metemos dentro de la raíz (elevándolo al cuadrado, claro) y el n para el paréntesis (n+5):

　　　　　2 - 1/n² - 3/n³
----------------------------------------------=
[√(1 + 2/n - 3/n⁴) + √(1 - 1/n³)]·(1+5/n)

　　2
----------- = 1
(1 + 1)·1

ya que todos los téminos del tipo 1/n^m tienden a cero cuando n →∞