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Hola buenas tardes!
Mi pregunta es acerca de un límite que he visto en un examen de selectividad que no entiendo muy bien, es el siguiente:

lim √(x²+2x-3)/³√(x³+3x²)
^x→-3

AL resolverlo en el examen elevan la raíz del numerador y del denominador a la 6, ¿se harían así todas las indeterminaciones del tipo 0/0 que tengan como función una raíz?.

Un saludo.

Hola Gemakitty,

Si te da cero el numerador y el denominador cuando sustituyes x por -3, es que éste es una raíz de ambos (cero de ambos). La manera de eliminarlo (simplificarlo) del numerador y del denominador es intentar meter todo dentro de una raíz común.

lim √(x²+2x-3)/³√(x³+3x²) = Lim ⁶√[(x²+2x-3)³/(x³+3x²)²] =
^x→-3

Se factoriza ambos:

x²+2x-3= (x+3)(x-1)

x³+3x² = x²(x+3)

sustituimos arriba:

= Lim ⁶√[(x+3)³(x-1)³/x⁴(x+3)²] =

= Lim ⁶√[(x+3)³(x-1)³/x⁴(x+3)²] =

Simplificamos (x+3)²:

= Lim ⁶√[(x+3)(x-1)³/x⁴] = 0

Este método es para este tipo de límites, cociente de raíces de distinto exponente.

Hola.

Veamos, tienes un limite de la forma 0/0 con una raiz arriba y otra abajo. Lo primero que se me ocurre es reducirlas a indice comun y ver como quedan.

El m. c. m. de 2 y 3 (indices de las raices) es 6. Luego transformemos el quebrado en una unica raiz sexta. Quedara

= lim √⁶ [(x²+2x-3)³/(x³+3x²)²]. Vamos a olvidarnos de la raiz que ya la pondremos otra vez al final.

Tal como estan las cosas aun no he resuelto nada, sigo teniendo 0/0.

Del quebrado que tengo, en el denominador se ve facilmente que puedo sacar factor comun x², que al salir del parentesis sera x⁴. Por tanto el denominador quedara
: x⁴*(x+3)².

¿y el numeraador ? Pues si el numerador admitiese como factor a (x+3) seria genial porque asi se iria con el denominador y simplificariamos. Resolvamos la ecuacion.

Oh, que casualidad! resulta que x²+2x-3 es igual a (x+3)*(x-1). Luego como esta al cubo sera (x2+2x-3)³ = (x+3)³*(x-1)³.

El quebrado quedara entonces lim [(x+3)³*(x-1)³/x⁴*(x+3)²] y eliminando los factores comunes da

= lim [(x+3)*(x-1)³/x⁴] o sea

0/81 = 0. Pero √⁶ 0 = 0. Por tanto lim= 0

Contestando a tu pregunta en concreto. Se utiliza indice 6 o se eleva a la sexta potencia para tener una unica raiz. Es como reducir a comun denominador.

Muchísimas gracias!Me habeis sido de gran ayuda.
Un saludo.