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Dada la función f(x):

Estudiar la continuidad y derivabilidad
Extremos locales
Recta tangente en x =3

f(x) =

-x+4                x < 2
4/x             2 ≤ x < 4
x² - 4x + 1       x ≥ 4

Para la continuidad en x = 2:

Lim f(x) = Lim f(x) = f(2)
x→2^-       x→2⁺


Lim f(x) = Lim -x+4 = 2
x→2^-


Lim f(x) = Lim 4/x = 2
x→2⁺

f(2) = 4/2 = 2                      Es continua en x = 2

Para la continuidad en x = 4, hacemos lo mismo:

Lim f(x) = Lim f(x) = f(4)
x→4^-       x→4⁺

Lim f(x) = Lim x/4 = 1
x→4^-

Lim f(x) = Lim x² - 4x + 1 = 1
x→4⁺

f(4) = 1     (se pone x = 4 en x² - 4x + 1)

También es continua en x = 4. Como en cada trozo y dentro de su dominio es continua, lo es en todo R.

Para la derivabilidad, como es continua puede ser derivable. Hacemos la derivada sin incluir los extremos de los intervalos:

-1                   x < 2
-4/x²               2 < x < 4
2x - 4               x > 4

La derivada por la izquierda en 2   es  -1  y por la derecha es -4/2² = -1, por lo tanto es derivable en x = 2

La derivada por la izquierda del 4   es   -4/4² = -1/4  y por la derecha 2·4 - 4 = 4. No es derivable en x = 4

La derivada es:

-1                   x ≤ 2
-4/x²               2 < x < 4
2x - 4               x > 4

No tiene extremos locales ya que la única función cuya derivada se anula es la de la parabola:

x² - 4x + 1      Derivada    2x - 4 = 0     x = 2   pero solo tomamos de ella para x > 4.

Para la recta tangente en x = 3:

y = m·x + n

f'(x) = -4/x²            para x = 3

m = f'(3) = -4/3² = -4/9

El punto es (3, f(3)) = (3, 4/3). Con esto calculamos la 'n':


y = -4x/9 + n

4/3 = -4·3/9 + n


4/3 = -4/3 + n           =>    n = 8/3


La recta tangente en x = 3 es:

y = -4x/9 + 8/3