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Buenas tardes

Muestre que la chica en A es capaz de lanzar la pelota al muchacho en B arrojándola con ángulos iguales medidos hacia arriba o hacia abajo a partir de una inclinación de 45°. Si VA = 10 m/seg, determine el rango R si éste valor es de 15°, es decir, ø1= 45° - 15° = 30° y ø2= 45° + 15° = 60°. Suponga que la pelota se recibe a la misma altura a la que se lanza.

Hola,

Ec de movimiento:

x = Vox·t

y = Voy·t - ½·g·t²          (yo = 0)

El alcance se obtiene cuando y = 0

Voy·t - ½·g·t² =  0       t = 0     y    t = 2·Voy/g.    Sustituyendo en la primera:

xmax = Vox·t = 2·Vox·Voy/g = (2/g)·Vo²·sen α·cosα =

como                 2·sen α·cos α = sen 2α

    Vo²·sen 2α
=  −−−−−−−−−−
          g

Si lanzamos con un ángulo  α    o     90 - α     vemos que:

sen 2·(90 - α) = sen 180 - 2α = sen 2α          (ya que      sen (180 - β) = sen β)

Cuando lanzados con un ángulo o su complementario el alcance es el mismo. La altura máxima no:

El tiempo para alcanzar la y máx (si parte del suelo):   t = Voy/g   (la mitad)

ymax =  Voy·t - ½·g·t² = Voy(Voy/g) - ½·g·(Voy/g)² = Voy²/g - Voy²/(2g) =

= 2Voy²/(2·g) - Voy²/(2g) = Voy²/(2g) = (Vo²/(2·g))·sen² α

sen² (90-α) = cos² α

La altura máxima para un ángulo α    es     (Vo²/(2·g))·sen² α
y para un ángulo  (90-α)   es                   (Vo²/(2·g))·cos² α

Si sumáramos las dos alturas nos daría la misma que alcanzaría el cuerpo si lo lanzáramos verticalmente con una velocidad Vo    (Vo²/(2·g)).

Para α igual  a   30º o  60º  el alcance es el mismo:

            Vo²·sen 2α
x max =  −−−−−−−−−−    ya que           sen 60 = sen 120
                   g

El rango para α = 30 sería:    (Vo²/(2·g))·sen² 30 =  (Vo²/(2·g))·(1/4) = (Vo²/(8·g))


El rango para α = 60 sería:    (Vo²/(2·g))·cos² 30 =  (Vo²/(2·g))·(1/2) = (Vo²/(4·g))

Para  60º  el rango sería el doble que para 30º (llega el doble de alto)