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La aceleracion de un movimiento queda determinada por la ecuacion a=-158x, medida en cm/s² y siendo x la distancia al origen de coordenadas en cm. Sabiendo que el desplazamiento máximo es de 4 cm  y que se ha empezado a contar el tiempo cuando estaba lo mas desplazado posible hacia la derecha,determinar la ecuación de desplazamiento x en funcion del tiempo. Calcular los valores máximos de velocidad y la aceleración, y calcular estas cuando el desplazamiento es la mitad del máximo.

R.-[4sen(4∏t-∏/2)] cm;16∏ cm/s ;64∏² cm/s²;8∏3^1/2 cm/s;-32∏²cm/s²


de donde sale ∏ y sen   

Hola.

De la definición de aceleración

a=d²x/dt²

Tenemos que

-158x=d²x/dt² → d²x/dt²+158x=0 (*)

Lo que nos da una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Hay muchas formas de solucionar dichas ecuaciones y en el PDF que te dejaré al final encontrarás los métodos más usados, el más adecuado es el de los Coeficientes Constantes (sección 2.4). Yo usaré la física para ahorrarme trabajo.

La ecuación (*) es la ecuación de un Movimiento Armínico Simple (Wiki) de la forma d²x/dt²+ω²x=0 (**), que en general, tiene por solución

x(t)= Asen(ωt+φ)

En donde A y φ son constantes que hay que determinar por las condiciones iniciales del problema.

Comparando (**) con (*), se obtiene que ω=√158 (la raiz negativa no tiene sentido fisico), así:

x(t)= Asen(√158 t+φ)

El desplazamiento máximo se obtiene cuando sen(√158 t+φ) es máximo, es decir, cuando sen(√158 t+φ)=1 , por lo tanto:

x_máx=A=4

Por lo que

x(t)=4sen(√158 t+φ)

Ahora, dice el ejercicio: "se ha empezado a contar el tiempo cuando estaba lo mas desplazado posible hacia la derecha", es decir, en t=0, la posición de la partícula estaba en la posición máxima, es decir en A=4cm. Por lo tanto

x(0)=4=4sen(φ) → senφ=1 → φ=π/2

Con lo que se obtiene finalmente la ecuación de movimiento:

x(t)=4sen(√158 t+π/2)

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Para hallar la velocidad de la partícula en cualquier momento, usamos la definición de velocidad:

v(t)=dx/dt = 4√158 cos(√158 t+π/2)

Que es máxima cuando cos(√158 t+π/2)=1 , asi que v_máx=4√158 cm/s

Y la aceleración en todo tiempo es

a(t)=-158 x(t) = -158 [4sen(√158 t+π/2)] = -632sen(√158 t+π/2)

Que es máxima cuando sen(√158 t+π/2)=-1 , así, a_máx=632 cm/s².

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Cuando el desplazamiento (visto desde desde el punto de equilibrio) es la mitad del máximo, se cumple que x(t)=4/2 cm =2cm, lo cual se da en un tiempo de

2= 4sen(√158 t+π/2) → t= √158·π/474

Así, la velocidad y la aceleración en esta posición, son, respectivamente:

v(√158·π/474)=4√158 cos[√158 (√158·π/474)+π/2]= - 2·√474 cm/s ( el signo menos indica que la partícula se mueve hacia la izquierda).

a(√158·π/474)= -158 (A/2)= -316 cm/s²

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Tienes seguridad que las soluciones que planteas son de este ejercicio?. Por favor, revisa.

Y este es el PDF del que te hablaba:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden (matematicas.univalle.edu.co)



Éxitos!!!...

los resultados estan igual como los puse, mi libro al parecer tiene errores de signo pero concuerdo con los resultados que obtuviste porque son equivalentes, pero en los resultado que tengo duda es:

¿la velocidad max y la aceleración max no tendrian que ser negativas ya que se mueven a la izquierda?

tendria que cumplir tambien a_max=-158(4)= -632cm/s²



bueno gracias por la ayuda  

Que lo ponga positivo se puede entender por dos razones:

-Una sencilla, es la que los signos sólo se introducen como sistema de referencia, así que no importa si se mueve hacia la derecha o izquierda, el valor será el mismo, por lo que se toma el valor absoluto del valor obtenido.

-Y una más analítica que me muestra que las función de aceleración, en este caso, tienen la forma

a(t)= (-B) cos(t)

En donde B > 0 , por lo que para que la aceleración sea máxima, ésta debe tomar el "valor más grande", es decir, uno positivo, entonces la parte que corresponde al coseno debría ser negativa.

Éxitos!!!...