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Saludos, presento un problema que no se si tiene solución ya que es una variación que se me ocurrió a mi de un problema de libro:

Se trata de determinar la velocidad de salida de un proyectil desde un cañón situado en una fortaleza, es decir con una cierta altura inicial. Los datos que se tendrán son: La aceleración producida por la gravedad g = 9,8 m/s , la distancia que alcanza el proyectil lanzado, despreciando la resistencia del viento y con un ángulo de oblicuidad de ∏/4, medida de acuerdo a un hipotético eje x situado en línea recta al pie del cañón, ∆x =  100 m, y la altura de la boca del cañón con referencia a un hipotético eje y con origen en la base de la fortaleza, y₀= 20 m.

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Aclaración: denotaré v_0x a la velocidad inicial sobre la componente x del tiro oblicuo, y v_0y a la componente y, y v₀ a la velocidad inicial del tiro (la incógnita del problema. Con esto: v_0x = v₀ Cos θ y v_0y = v₀ Sen θ siendo θ el ángulo de tiro.

Con estos datos intenté resolver el problema planteándolo de la siguiente forma: Se trata de un tiro oblicuo, por lo que analicé las componentes vectoriales x e y por separado:

y = -1/2gt² + v_0yt + y₀ aquí consideré lo siguiente, hice y₀= 0 por conveniencia para solo analizar una parábola de trayectoria simétrica y luego considerar la altura inicial. En otras palabras sitúo el origen del eje y en la boca del cañón y no en la base de la fortaleza.

Con esto quedó:
y = -1/2gt² + v_0yt aquí hago y=0 para despejar t en el momento que el proyectil alcanza la altura de lanzamiento:
0 = -1/2gt² + v_0yt

Despejo t:
t = 2v_0y/g

Remplazo esto en la ecuación para la componente x:
x= v_0xt + x₀ aquí x₀ = 0.
x= v_0xt
Reemplazando t:
x= v_0x 2v_0y/g

Ahora hago:
v_0x = v₀ Cos θ
v_0y = v₀ Sen θ

Remplazo en lo anterior:
x= v_0x 2v_0y/g
x= v₀ v₀ 2 Cos θ Sen θ /g

Por sustitución trigonométrica:
2 Cos θ Sen θ = Sen 2θ
Pero θ=∏/4 así que Sen 2θ=1

Reemplazo:
x= v₀ v₀ 2 Cos θ Sen θ /g
x= v²₀/g 1

Hasta aca todo bien, podría despejar la velocidad si el ∆x=100 m estaría medido en el origen del eje y, pero me quedan 20 m de caida oblicua.
Entonces, trato de calcular la distancia x que corresponde a este sector de caida, supongo para esto que el ángulo de tiro oblicuo aquí es -θ ya que la parábola es simétrica y por la misma razón v_0y = -V₀Sen θ.
Entonces me queda:
y= -20 m= -1/2 gt² - V₀Sen θ

Y hasta acá llegué, me parece muy complejo despejar el tiempo aquí ya que es una ecuación de segundo grado, y más dificil aún, para reemplazarlo en una ecuación para la componente x y luego a esa ∆x restársela a los 100 m para aplicar la ecuación 1 y despejar finalmente la velocidad. Por esto no se si es difícil o imposible...

No te conviene.

Eso es buena gana de complicarse. Esto es una ecuación de segundo grado normal y corriente:

-½·g·t² + voy·t + yo = 0

gt² - 2·voy·t - 2·yo = 0

    2·voy ± √4·voy² + 8·g·yo
t = --------------------------
                  2·g

y sale el tiempo que tarda en tocar suelo. Una de las soluciones será matemática, no valdrá para nuestro problema (por ejemplo tiempo negativo)

x_máx = Vox·t