Foros Ciencias Galilei

Me plantearon un problema de tipo gravitacional que no supe resolver por lo que pido ayuda a los maestros y caperusos.  El problema es el siguiente:

En el espacio tenemos 2 cuerpos muy especiales estando el primero ubicado en un punto A y el segundo en un punto B, ambos puntos separados por una distancia “d”.  El punto A es el centro de una esfera de radio “r” variable en el tiempo pero de densidad constante   ρ. La variación del radio “r” es exponencial con el tiempo, siendo K una constante y t el tiempo, O sea:

 r = e^kt

Por lo tanto su masa M es también variable de la forma:

 M = (4/3)·π·ρ·r³

Sobre el punto “B” hay una partícula de masa unitaria que tiene la característica de ser repelida gravitacionalmente por la esfera,  como si la esfera fuera de materia normal y la partícula de antimateria. Esta partícula está ubicada inicialmente, para t=0, a la distancia “d” del centro de la esfera  y a una distancia X, después de trascurrido un tiempo  “t” cualesquiera diferente de cero. La fuerza de repulsión crece siguiendo la misma variación de la ley de gravitación universal pero obviamente con signo contrario.
El problema consiste en determinar el valor de X en función del tiempo.
Eternamente agradecido si me dan la solución.

Yo  haría algo así:

Por la Segunda Ley de Newton, la fuerza sobre B es de la forma

M d²x(t)/dt²= GM_AM/[x(t)]²

Con M, la masa de B. Reemplazando el valor de la masa de A y simplificando un poco:

[x(t)]² d²x(t)/dt²= (4Gπρ/3)e^3kt

Al resolver esta ecuación diferencial, obtenemos la posición de B con respecto a A variando en el tiempo.

El programa Maple13 intenta dar una solución a este monstruo de ecuación diferencial, dando como resultado:



Éxitos!!!...

Hola Jorge Quantum
Te agradezco mucho el tiempo dedicado al problema de campo gravitatorio que planteé. Hasta la ecuación diferencial la respuesta está clara como el agua. Pero la solución de x que aparece con el programa Maple 13 no sé cómo interpretarla pues aparecen parámetros que no son función de los datos.
Resultas que quería hacer un gráfico de x en función del tiempo y verificar si la esfera en su crecimiento alcanzaba a la partícula o si esta se aleja perpetuamente del borde de la esfera lo que no sé si se desprende de la expresión de x(t).
El problema quiero aplicarlo a una teoría mía que se contrapone a la del Big Bang y que puedo hacértela llegar, si te interesa, a algún correo electrónico que me indiques.
En mi teoría la distancia inicial “d” entre el centro de la esfera y partícula podemos hacerla igual a 100m, por ejemplo, y el valor de “K” es calculable pues es igual a:  4/3ΠρG,  siendo ρ=densidad media del universo y G la constante de gravitación universal. Te indico esto por si los parámetros  de la expresión de x(t) de Maple 13 pudieran ser condiciones de borde.
Agradeceré si me puedes complementar la respuesta
Atentamente Kosmologo

Una solucion bien particular (por tanteo) para la ecuacion: [x(t)]² d²x(t)/dt²= (4Gπρ/3)e^3kt  es x(t)=R e^kt.
Donde R es una constante.

Si k= 4Gπρ/3   => la ecuacion diferencial queda: [x(t)]² d²x(t)/dt²= k e^3kt

Al reemplazar la solucion propuesta en la ecuacion diferencial, encontramos que R= k^-1/3 =>
x(t)=k^-1/3e^kt

Esta solucion nos diria que la variacion de la distancia de la particula, tiene la misma forma funcional con el radio de la esfera:
r=e^kt

Pero las condiciones iniciales no encajan en esta solucion: x(0)= d y   dx/dt=0 para t=0  (velocidad inicial cero).


Lo dejo como una curiosidad, si de casualidad le sea util. Saludos.

PD.  Ensaye soluciones: x(t)= f(t) e^kt

Aquí dejo una aproximación gráfica de la solución,hecha de igual forma con Maple 13. Evidentemente tiene un comportamiento exponencial en el tiempo. He supuesto que x(0)=1 y que x'(0)=0, además hice que todas las constantes valieran 1.




Espero los documentos.

Éxitos!!!...

La solución que me da Maple 13 se debe interpretar así:

x(t)=a/[e^{-k(∫b(a)da+C)}]

En donde se definen las funciones a y b(a) como :

d [b(a)]/da= - (k²a³+A)[b(a)]³/a² + 2k[b(a)]²

ó

a=x(t)e^-kt  ;  b(a)= - 1/[e^-kt(dx(t)/dt+kx(t))]

Lo que da es una solución en términos de la misma variable o reduce el sistema a un conjunto de ecuaciones diferenciales.

Éxitos!!!...