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hola, tengo una dudilla con este problema:

La masa de la Luna es de 7.35·10²² kg y la de la tierra 5.98·10²⁴ kg. La distancia media de la tierra a la luna es de 3.84·10⁸ m.

a) Calcule periodo de la luna
b) La energia cinetica
c) A que distancia de la tierra se cancela la fuerza ejercida por la tierra y la luna sobre un cuerpo ahi situado


el apartado a) me da 23.6 y el b) 3.82x10²⁸ pero el c no tengo ni idea como hacerlo me lo podeis explicar

Yo he utilizado dos expresiones:
V orbital= √(GM/R)   [1]
V en un movimiento circular= 2πR/T     [2]

La igualo, y asemejo el resultado con la ley de kepler:
T²/R³= 4π²/GM

Despeja T, y sustituye. (Queda mas aproximado que 23)

Para hallar la energia cinetica tienes que saber a que velocidad se mueve. Asique sustituyes en [1] o en [2], lo valores que ya tienes, y despues sustituyes la velocidad en la expresion:
Ec= ½·m·v²

En el apartado c, nose donde dice que esta situado el cuerpo (¿en la linea que une los centros?).

Perdon por no darte resultados, los he hecho a calculadora y se ha apagado.
He supuesto que G= 6.67·10^-11 SI

O lo que es lo mismo,



como la Luna gira en órbita circular debe verificar la ley de Newton:

∑Fc = M·V²/R = M·ω²·R  (fuerza centrípeta)

donde ac = V²/R = ω²·R   (ya que V= ω·R)

La fuerza centrípeta es la gravitatoria:

G·Mt·ML/R² = ML·ω²·R

ω² = G·Mt/R³ = (2·π/T)²   (Tercera ley de kepler). Despejar T.



Conocida la ω, podemos sacar la velocidad lineal:  V = ω·R y con esto la energía cinética:

Ec = ½·ML·V²



Donde la gravedad producida por ambos astros se anulen. Digamos que a una distancia 'x' de la Tierra:

E = g = G·M/R²

La gravedad de la Tierra en 'x' es:

G·Mt/x²

La gravedad de la Luna en 'R-x' es:

G·ML/(R-x)²

Igualando:

G·Mt/x² = G·ML/(R-x)²

Mt/x² = ML/(R-x)²

Haciendo raíz y ordenando términos:

(R-x)
------ = ± √(ML/Mt)    (despejando x)
  x

De las dos soluciones de x quédate con la física.