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Calcule la velocidad mínima con la que habrá que lanzar un cuerpo desde la superficie de la Tierra para que ascienda hasta una altura de 4000 km

La velocidad que me preguntan en dicho problema, ¿Es la velocidad de escape?

Me surge la duda, a ver si me echais una mano

Gracias

No, esa no es la velocidad de escape. Para que lo sea tiene que pedirte que el cuerpo no vuelva a caer hacia la Tierra, o lo que es lo mismo, la velocidad para que llegue al infinito y se pare (mínima velocidad de lanzamiento). De todas formas se hace casi igual.

Cuando te piden a qué velocidad hay que lanzar un cuerpo para que ascienda por un plano inclinado hasta una cierta altura (sin rozamiento), lo planteas así:

Em (abajo) = Em (arriba)

Aquí es igual con la única diferencia de que la Ep no es, en este caso, M·g·h al no ser 'g' cte.

Considerando al infinito como referencia para la energía potencial (cero en el infinito), tenemos que en un punto distante R de una masa la energía potencial vale:

Ep(R) = -G·M·m/R

Siendo 'M' la masa creadora de campo y 'm' la masa sometida a éste.

La energía mecánica en la superficie de la Tierra (Ec + Ep) será:

½·m·V² + (-G·M·m/Rt)

y a una altura R, donde el cuerpo se para, la energía mecánica (potencial) será de:

-G·M·m/R 　　(No hay cinética, sòlo potencial)

Como no hay rozamiento, ambas tienen que ser iguales.

½·m·V² + (-G·M·m/Rt) = -G·M·m/R

½·V²  = G·M/Rt - G·M/R = G·M·(1/Rt - 1/R) = g·Rt²·(1/Rt - 1/R)

Esto último es porque como g = G·M/Rt² => G·M = g·Rt²
siendo g la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta (9,8 m/s² para la Tierra)

Para terminar:

V²  = 2·G·M·(1/Rt - 1/R) = 2·g·Rt²·(1/Rt - 1/R)

En realidad este problema es como el típico del cuerpo que va por un plano horizontal con una velocidad Vo y la pierde por la acción del rozamiento con el plano. La energía cinética del cuerpo tiene que ser igual al trabajo de la fuerza de rozamiento (que es negativa). En nuestro caso es el trabajo del peso (cambio de energía potencial)

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Para la velocidad de escape se pide, además, que llegue al infinito y se pare. Allí no tiene, entonces, energía. Lo cual quiere decir que en la superficie de la Tierra, desde donde se lanza, tampoco debe tenerla. Pero como tiene una energía potencial -G·M·m/Rt, le debemos dar esa misma cantidad en forma de energía cinética, luego:

½·m·Ve² - G·M·m/Rt = 0

Ve² = 2·G·M/Rt = 2·g·Rt²/Rt = 2·g·Rt

Ve = √(2·g·Rt)

La película es la siguiente: Lanzamos el cuerpo con una energía cinética de 1000 J (por ejemplo) y tiene -1000 J de potencial. Como tiene velocidad se eleva, perdiendo cinética y ganando potencial, puede tener 500 J de cinética y le quedará -500 J de potencial. Cuando esté cerca del infinito le quedará poca cinética -5 J y tendrá mucha potencial 5 J. Llega al infinito y ha perdido toda la cinética pero como ahí la Tierra no atrae al cuerpo (Ep=0), ya no regresa.