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Buenas, tengo una pequeña duda respecto a este problema:  

Una varilla de masa despreciable y longitud L está unida por su extremo inferior a un mástil fijo mediante una articulación lisa, A. El extremo superior de la varilla, B, está unido al mástil mediante un resorte sin masa de constante recuperadora K y longitud natural lo (lo < L). El otro extremo del resorte se une al mástil a una distancia L de la articulación. Del extremo B de la varilla se suspende una masa M. Supuesto que en equilibrio θ < π/2, determine: a) El ángulo θ que forma la varilla con el mástil; b) La longitud del resorte y la fuerza que ejerce sobre el extremo B de la varilla. c) La reacción del mástil en A. d) ¿Cuál es el máximo valor de M permisible para que θ < π/2?

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Os pongo mi desarrollo para que veáis hasta dónde he llegado:

El ángulo que forma la fuerza Peso, con la varilla, esθ. Imaginémonos un eje hozintal que pasa por B, entonces el ángulo que forma la fuerza restauradora con este eje, será de θ/2, ya que al ser el triángulo A, B, y donde empieza el resorte, un triángulo isósceles, sabemos que los otros dos ángulos diferentes a θ han de ser iguales. Como la suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera ha de ser 180º, tenemos que: θ + a + a = 180º => θ +2a = 180º => a = 90 - θ/2.
Ahora, si nos fijamos en el vértice que está donde comienza el resorte, y pronlongamos una línea horizontal tal que el resorte quede debajo de esta línea, podemos ver que el ángulo que formará el resorte con esta línea (eje horizontal) será de 90 - a, o sea, 90 - 90 + θ/2, o sea, θ/2. Bien, si llamamos x a la longitud del resorte, se nos cumplirá que cos(θ/2) = Cateto contiguo / x, donde el cateto contiguo, lo podemos hallar como sen(θ) · L (volviendo sobre la línea horizontal dibujada en B se observa claramente cómo queda un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto respecto a θ es el cateto contiguo que buscamos). Una vez dicho esto, podemos hallar la longitud del muelle en función de θ como:

cos(θ/2) = sen(θ) · L / x , donde haciendo un poco de trigonometría llegamos a una expresión mucho más cómoda: x = 2L · sen(θ/2)

Una vez hecho este desarrollo, planteo las ecuaciones correspondientes al estado de equilibrio:

Fuerzas en el eje x: Ra · sen(θ) - k · (2L · sen(θ/2) - lo) · cos(θ/2) = 0
Fuerzas en el eje y: k · (2L · sen(θ/2) - lo) · sen(θ/2) + Ra · cos(θ) = mg

y aquí es donde está mi duda, sé que el momento que crea la fuerza peso respecto del punto A (mi centro de momentos), será de: - P · L · sen(θ), pero y el de la fuerza restauradora? He llegado a pensar que sería k · (2L · sen(θ/2) - lo) · L · cos(θ/2), pero claro, este ángulo es el que forma sólo con nuestra línea horizontal que pasa por B, no con la varilla... Así que aquí me he quedado.

Solución: sen(θ/2) = K lo/[2 (K L - M g)]
(que me temo que está mal)
Un Saludo, y gracias de antemano!

Hola,

He mirado (e intentado hacer) el problema y lo tienes todo bien. Incluso tu razonamiento para calcular el momento de la fuerza elástica que es el producto de la fuerza por la distancia más corta a la dirección de ésta y me da lo mismo que a ti.

El problema lo veo a la hora de resolver las ecuaciones. He llegado a plantear las tuyas y las de rotación pero son 'imposibles' si no se nos ocurre algo.

Hagámoslo así.

Tomemos la linea del muelle que pasa por B. El alargamiento de éste es provocado por la componente en esa dirección del peso y R. El peso forma un ángulo de (90 - θ/2) con esa linea (piensalo) y entonces:

Fuerza alargamiento = componente peso en la recta del muelle + Reacción

Eje que pasa por el muelle:

k·(2·L·sen (θ/2) - lo) = P·cos (90 - θ/2) + R·sen θ/2 = P·sen θ/2 + R·sen θ/2 =

= (P + R)·sen θ/2

Eje perpendicular al muelle:

R·cos θ/2 = P·sen θ/2       =>   R = P·sen θ/2/cos θ/2 = P·tg θ/2

Saludos de nuevo.

Lo he pensado y he llegado a la solución que exponen. Antes de pasar a ella, quisiera comentar que el ángulo que forma el vector peso, con el resorte, es de (90 + θ):

Sabemos, que nuestro triángulo, formado por el punto A, B, y donde empieza el resorte, es un triángulo isósceles, cuyo ángulo conocido θ es el que forman los dos lados iguales L.
Podemos tratar de hallar los dós restantes ángulos de este triángulo sabiendo que éstos han de ser iguales por ser un triángulo isósceles. Si llamamos b, a este ángulo, tenemos que:

180 = θ + b + b ---> b = 90 - θ/2

También sabemos que el ángulo que forma el vector peso con la varilla es θ. Entonces, podemos  hallar el ángulo que forma este vector, con el resorte, sumando ámbos ángulos: 90 - θ/2 + θ = 90 + θ/2

Dicho esto, expongo cómo he llegado a la solución partiendo únicamente de la ecuación de momentos:

k · (2L · sen(θ/2) - lo) · L · cos(θ/2) - P · L · sen(θ) = 0

k · (2L · sen(θ/2) - lo) · cos(θ/2) = P · sen(θ)

teniendo en cuenta que sen(θ)/cos(θ/2) = 2*sen(θ/2), tenemos que:

k · (2L · sen(θ/2) - lo) = P · 2 · sen(θ/2) ---> K · 2L · sen(θ/2) - k · lo = P · 2 · sen(θ/2)

K · 2L · sen(θ/2) - P · 2 · sen(θ/2) = k · lo ---> sen(θ/2) · (K · 2L - P · 2) = k · lo

sen(θ/2) = k · lo/[2 · (K · L - Mg)]

Un saludo, y gracias de nuevo por la ayuda.