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Este ejercicio lo voy a resumir un poco, creo que los cálculos estan realizados correctamente pero me falta una pequeña cosilla.

Una forma de bajar una masa m desde una altura h con velocidad controlada es utilizar una polea cuya masa M está concentrada uniformemente en el perímetro y que gira alrededor de un eje horizontal que pasa por su centro O, como se indica en la figura. Calcular la aceleración de caida en función de la masa M y la velocidad final de m cuando ésta ha descendido la altura h, discutir los casos extremos en que la masa m cae con la máxima y mínima aceleración .



Método 1 :

mg - T = ma
T = Iα ---> TR = MR²/2 (a/R) ----> (mg-ma)R = MR²/2 (a/R)

operando y despejando obtenemos a = 2mg/ ( M+2m)

Método 2:

Mediante la coservación de la energia

mgh = Iw²/2 + mv²/2 -----> V = (2mgh/ (m+M))½  velocidad final de la masa.

Creo que los dos resultados estan bien pero no es lo que me pide el problema, el problema me pide hallar la aceleración en función de M y de la velocidad final de m y no sé como puedo relacionarlas.En un principio pensé mediante las ecuaciones de movimiento

h = at²/2    y   v = at    pero no le veo sentido , además se supone que a partir de una me tiene que llevar a la otra y no consigo relacionarlas.

luego hay un segundo apartado que me pide discutir los casos extremos en que la masa m cae con la máx y mín aceleración . ¿ se haria deribando e igualando a cero?

Hola,

m·g - T = m·a    =>   T = mg - m·a = m·(g - a)

I (cilindro hueco) = M·R²

T·R = I·α = M·R²·a/R    =>    T = M·a

Sustituyendo en la primera:

mg - m·a = M·a       a·(M + m) = mg            a = mg/(M + m)

Cuando haya caído una altura h, partiendo del reposo:

Fórmula útil:

V² - Vo² = 2·a·h      =>     V² =  2·m·g·h/(M + m)   =>   V(h) = √2·m·g·h/(M + m)

Hazlo ahora por energía y te deberá salir lo mismo.

si, en la conservación de energia puse I = MR² pero no me di cuenta que en el otro habia puesto el del disco.
Esa era la formulilla que me faltaba para relacionarlo todo.

Tengo curiosidad, no me gusta solo memorizar alguna fórmula, ¿ de donde procede la formula V²-Vo² = 2ah ?
muchas gracias.

Haces bien:

a = (V - Vo)/t              t =  (V - Vo)/a

d = Vo·t + ½·a·t²

Sustituye t de la primera en la segunda y simplifica:


d = Vo·(V - Vo)/a + ½·a·(V - Vo)²/a² = (V² - Vo²)/2a

2ad = V² - Vo²


o de aquí:

W = ∆Ec    (Fuerzas vivas)

F·d = ½·m·(V² - Vo²)

m·a·d = ½·m·(V² - Vo²)        =>        V² - Vo² = 2·a·d


Sirve para cuando quieres conocer la velocidad de un cuerpo que acelera, después de recorrer una distancia d

En realidad se podría hacer utilizando las dos primeras:
a = (V - Vo)/t
d = Vo·t + ½·a·t²
Pero se ahorra tiempo utilizándola. Es muy ÚTIL como habrás visto.  

Ojo: aceleración cte, claro.