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No estoy muy seguro de como hacer este ejercicio

Una varilla de seccion despreciable y de longitud 2L. La mitad izq de la varilla es de un material con densidad lineal λ₁ y la otra mitad tiene una densidad menos λ₂ = λ/5 . Se pide calcular el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por ella por un punto fijo O, situado en uno de los dos extremos de la varilla. Si en el extremo opuesto se aplica una fuerza F, perpendicular a la varilla ¿en que extremo debe estar O para que la aceleracion de la varilla sea mayor ?

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Intento hallar I en un eje perpendicular al centro de la varilla ( aunque me piden en uno de los extremos ):

I =∫R²dm = ∫x²M/Ldx + ∫x²m/5Ldx ----> los límites de integración no se si serian entre L y -L para ambas integrales o si seria entre 0 y -L para la primera y entre L y 0 para la segunda.

Para el caso primero me sale I1 = 12ML²/ 15 y para el segundo caso me sale
I2 = 6ML²/15

Pero ya no estoy seguro , porque ahora deberia hallar I para ambos extremos y no se si seria asi :

I = (I1 o I2) + ML² si es el extremo de la izquierda o I = (I1 o I2)+ ML² /5  si es el extremo de la derecha

Luego para la pregunta ¿ en que extremo debe estar O para que la aceleracion de la varilla sea mayor ?

Como T = Iα -->  F = Iα ---->  α = F / I    para que la aceleración de la varilla sea mayor I debe ser más pequeño o sea que O debe de estar en el lado de la derecha

Hola,



Como cada mitad de la varilla es homogénea, se puede entender como si tuviera dos masa a una distancia L/2 del centro. El centro de masas referido al centro de la misma es:

La parte izquierda masa λL/2  y la derecha   λL/10. Toda ella  M = (3λL/5)  (suma de ambas mitades)

      m1·x1 + m2·x2        (λL/2)(-L/2) + (λL/10)(L/2)           (L/2)(-2/5)·5
X = ----------------- = ------------------------------ = ------------------- = (-1/3)·L
         m1 + m2                            (3λL/5)                              3

La distancia desde A del CM es   L - L/3 = 2L/3

La distancia desde B es 2L - 2L/3 = 4·L/3

Vamos a calcular Icm

La distancia de M al cm es L/2 - L/3 = L/6
La distancia de M' al cm es L/2 + L/3 = 5·L/6

Icm = m₁·x₁² + m₂·x₂² = (λL/2)·(L/6)² + (λL/10)·(5·L/6)²

Aplicando Steiner:

I_A = Icm + M·d² = Icm + M·(2L/3)²

I_B = Icm + M·d'² = Icm + M·(4·L/3)²



Supongo que se refiere a la aceleración angular. En B (ver dibujo) la fuerza produce más momento por estar más alejado del CM.