Foros Ciencias Galilei

Hola a ver que te parece este ejercicio.

Sean cuatro masas iguales situadas en los vértices de un cuadrado y unidas por muelles de constante elástica K y longitud de equilibrio L. El sistema rota con velocidad angular constante W alrededor de un eje perpendicular al plano y que pasa por el centro del cuadrado.
a) Determinar el momento cinético del sistema respecto al ejer de rotación .
B) calcular la deformación ∆L de los muelles.



Para el apartado a) , he echo lo siguiente:

J = ∑ m_ir_iv_i = ∑ m_iwr_i² = mw (L²/2) + mw (L²/2) + mw (L²/2) + mw (L²/2) = 4mw (L²/2) = 2mwL²

para el apartado b) es donde no lo tengo muy claro, dado que me piden al elongación del muelle supongo que habrá que utilizar la energía cinética.

Hola,

El fallo que cometes es que cuando gira a ω, la longitud de los muelles será L+x (x es lo que se estira cada muelle).

La fuerza ejercida por cada muelle, una vez estirado, es:

F' = K·x

Como hay dos perpendiculares, la resultante de ambas:

F = √2·K²·x² = √2·K·x    [1*]

La distancia al centro de cada masa será:

R = √(L+x)²/4 + (L+x)²/4 = √(L+x)²/2 = (1/√2)·(L+x)   (T Pitágoras)

El momento de inercia será:

I = 4·m·R² = 2·m·(L+x)²   (se consideran masas elementales)

J = I·ω = 2·m·(L+x)²·ω    (momento angular, J)

Pero para conocer J, antes hay que saber 'x'. Aplicando la Ley de Newton (fuerza centrípeta):

∑F_c = m·a_c = m·ω²·R = √2·K·x      (de [1*])

x = m·ω²·R/(√2·K) = m·ω²·(L+x)/(2·K) = √2·K·x

m·ω²·(L+x) = 2·√2·K²·x      =>     x = m·ω²·L/(2·√2·K² - m·ω²)

Este ejercicio desde luego no era nada fácil de entender.Me ha quedado bastante claro salvo por una cosilla de las fuerzas, a ver si me explico:

En un resorte o muelle existen dos fuerzas , la fuerza recuperadora del muelle que es una fuerza negativa y tiene la dirección hacia la posición natural del muelle y la fuerza que se ejercer sobre el muelle que es positiva y tiene la dirección contraria a la fuerza recuperadora del muelle.
En nuestro caso si nos fijamos en una particula que está unida a dos muelles, la fuerza que utilizamos es la que se ejerce sobre el muelle ( o sea la fuerza positiva ) y como hemos dicho que está alargado ( L+x) , la dirección de esa fuerza es en dirección hacia fuera de la partícula.



Al sumar esas fuerzas, la resultante de la fuerza es hacia el centro de nuestro sistema, al igual que la fuerza centrípeta, entonces ¿ porque se igualan esas fuerzas?

Hola,

La fuerza positiva de la que hablas es la que ejerce la masa sobre el muelle hacia fuera. Esa fuerza no nos interesa porque actúa sobre el muelle y a nosotros nos interesa las que actúan sobre la masa que es el sistema a estudiar (esta fuerza es la misma que la anterior pero hacia el centro, es la fuerza centrípeta). Ésta es la que hace que la masa gire alrededor de un punto. La misma que has pintado en el dibujo. La suma de ambas es la centrípeta que mantiene en giro a la bolita.



Cuando un cuerpo gira tiene que haber una fuerza responsable de dicho giro. Esa fuerza es la llamada centrípeta. En el caso de un planeta es el peso, una piedra girando atada a una cuerda es la tensión, en una moto tomando una curva es el rozamiento. En nuestro problema es la suma de las fuerzas que ejercen ambos muelles. La fuerza centrípeta, en un movimiento circular, se iguala a m·ac = m·V²/r = m·ω²·R



Si no te queda claro comentameló.

Me ha quedado muy claro, lo he entendido perfectamente. muchas gracias