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Ejercicio 1
Un carrito de montaña rusa y sus ocupantes tienen una masa total m = 100 kg en el instante
A se encuentran a una altura hA = 40 m con una velocidad VA = 5 m/s.
En un instante siguiente B se encuentra a una altura hB = 20 m. Si el roce es despreciable
¿Qué velocidad tiene en B?

Ejercicio 2
Un bloque de masa m1 = 10 kg que esta sobre una superficie horizontal rugosa que tiene un
coeficiente de roce cinético = 0,25, se encuentra unido por una cuerda sin masa a través de
una polea sin roce a otro bloque de masa m2 = 8 kg que cuelga verticalmente.
El conjunto de ambas masa se desplaza a una cierta velocidad V1  ¿Qué velocidad tiene
cuando el bloque m2 desciende 4 metros?

Ejercicio 3
El bloque de m = 2 kg de la figura se encuentra en la parte superior de un plano inclinado
rugoso (coef. roce = 0,3; ángulo 45º; altura 6m).
Se lo deja deslizar desde el reposo hasta  la parte inferior donde sigue deslizándose por un
plano horizontal sin roce hasta chocar contra un resorte de K = 120 N/m.
a)  ¿Qué distancia X se acorta el resorte?
Cuando el resorte recupera su posición de equilibrio  haciendo desplazar el bloque en
sentido contrario al del original:
b)  ¿Qué altura ascenderá el bloque por el plano inclinado?

-Hola, Lulon.



El principio de conservación de la energía mecánica afirma que, en ausencia de trabajo externo como el de la fuerza de rozamiento, toda la energía se conserva.

Como la energía mecánica o total E es suma de la energía cinética Ec más la energía potencial Ep, tenemos E = Ec + Ep.

                   Ec = 1/2 m v² (energía de movimiento; detenido no hay)
                 /  
Ahora bien                                     m: masa  ; v:velocidad ;  h: altura                                                
                 \
                   Ep = m g h (energía de altura; a altura cero no hay)


 Por tanto, E = 1/2 m v² + m g h es la energía mecánica (o total) de un cuerpo.

Y puesto que se conserva, la E en un punto será la E en cualquier otro instante:

  E₁ = E₂ =>  
 
  =>    Ec₁ + Ep₁ = Ec₂ + Ep₂

Es decir:
Calculándolas por separado para no embrollar:

Ec₁ = 1/2 m v²=1/2*100*5²= 1250 J (julios en el S.I.)
Ep₁ = m g h₁ = 100*9,8*40 = 39200 J

Luego E₁ = 1250 + 39200 = 40450 J en el punto 1 (posición A).

Ec₂ = 1/2 m v² = 1/2 *100 * v² (v desconocida) = 50*v² J
Ep₁ = m g h₁ = 100*9,8*20 = 19600 J

Luego E₂ = 50*v² + 19600

Por último, puesto que ambos valores deben ser iguales:    40450 = 50*v² + 19600 =>

50*v² = 40450 - 19600 => v = √(20850/50) = 20,42 m/s

(Afinando un poco matemáticamente, puede prescindirse de la masa si no cambia. Por eso a veces te la omiten y sin embargo se hace igualmente sin ella:
1/2 v1² + gh₁ = 1/2 v2² + gh₂)

Hale, venga.

- Tenemos un sistema de dos bloques que se mueve perdiendo energía debido al rozamiento. No se conserva la energía.
- Sin embargo, sabemos que esa energía perdida es el trabajo que hace la fuerza de rozamiento, Wr, que es negativo por oponerse al avance.
- Entonces E_A+Wr=E_B  (realmente +Wr supone una resta de energía al estado A).

      Tomaremos el nivel cero de alturas a cuatro metros por debajo de la superficie horizontal. Al comenzar a bajar el cuerpo 2 (estado A), ambos cuerpos se suponen a 0 m de altura. En el estado B, el cuerpo 1 sigue a 4 m, pero el 2 se encuentra a altura 0.

Si m₁+m₂=M :
Energía mecánica del sistema en el estado A:
 E_A = Ec_A + Ep_A = 1/2 M v₁² + m1 g h + m2 g h   (h = 4 m)

Energía mecánica del sistema en el estado B:
 E₂ = Ec₂ + Ep₂ = 1/2 M v₂² + m1 g h + 0  (altura 0 para m2)

Trabajo de la fuerza de rozamiento:
 Wr = - Fr * s = - μ N s = - μ m₁ g h ; solo afecta a m1. Negativo porque se opone al avance. Dicho avance son los 4 m htales.

Haciendo ya E_A + Wr=E_B tenemos:

1/2 M v₁² + m1 g h + m2 g h - μ m₁ g h = 1/2 M v₂² + m1 g h

Sustituyendo (lástima no conocer v1):

1/2 *(10+8)*v1² + 10*9.8*4 + 8*9.8*4 - 0,25*10*9.8*4 = 1/2*18*v2² + 10*9.8*4
9 v1² + 215,6 = 9 v2² =>

=> v2 = √(v1² + 23,96) m/s

Vamos.

Toda la energía acumulada en A por el cuerpo es potencial gravitatoria. El bloque se desliza desde A hasta B convirtiendo esa energía potencial en cinética, pero va perdiendo una parte, transformada en trabajo de la fuerza de rozamiento.
La energía ya solo cinética en B se conservará íntegra hasta C por ausencia de rozamiento, hasta contactar con el muelle distendido; a partir de ahí, toda la E cinética se va transformando en potencial elástica, comprimiéndose el muelle, hasta quedar detenido el cuerpo en D. En D entonces hay solo E potencial elástica. El cuerpo queda detenido un instante en D antes de salir lanzado en sentido opuesto.

Aplicaremos el Principio de conservación y transformación de la energía: Toda la energía que había en A será la que haya en B más la que se perdió en forma de trabajo.

Matemáticamente lo podemos establecer como una diferencia: EB - EA = Wr , en que, según lo dicho, Wr ha de ser negativo.
Aparece un signo menos que nos molestará tanto como le permitamos. Ese trabajo ha de ser negativo por ser el que realiza la fuerza de rozamiento, siempre opuesta al avance (el desplazamiento forma 180º con el sentido de Fr; cos 180=-1).

Bien, iremos transmitiendo la energía de A a B, de B a C y de C a D, a ver qué pasa  
Y propongo no poner ni un solo numerito hasta el final, todo física y álgebra. VENGA

Partiendo de E_B-E_A=Wr , hacemos 1/2 m v² - m g h = - Fr * s , aplico el signo predicho.

Pero prefiero dejarlo como E_B - m g h = - Fr * s, pues EB se lo transmitiremos íntegramente a EC por ser iguales, no me interesa detallar EB.

Como Fr = μ * N siempre, con N la normal; sabiendo que N = Py y que Py = m g cos α, tenemos:
   Fr = μ m g cos α
Además, el camino recorrido por Fr es s, que en fción de h es:
   sen α = h/s => s = h/sen α
Entonces:
  Wr = - Fr * s = - μ m g (cos α) h/(sen α) = - μ m g h cotg α

Y retomando E_B - m g h = - Fr * s, queda E_B - m g h = - μ m g h cotg α =>
   E_B = m g h - μ m g h cotg α => E_B = m g h (1 - μ cotg α)
 Vamos viendo que EB tiene algo menos de energía que EA.

Bien, ahora sí que toda la energía que se tiene en B se transmite a C entera por no haber rozamiento en el tramo BC:
EB = EC => EC = m g h (1 - μ cotg α), que es toda cinética en ambos puntos B y C.

Y a partir de C, la energía cinética se va transformando en potencial elástica: la "masa con velocidad del cuerpo" empieza a comprimir el muelle y le pasa toda su energía sin pérdidas:
ED = EC, que es cinética en C, pero potencial elástica en D.

1/2 k x² es la energía elástica almacenada por un muelle comprimido (nuestro pequeño, jeje). Con k la cte elástica del resorte y x la compresión que experimenta. Ya asoma la x pedida:

ED = EC => 1/2 k x² = m g h (1 - μ cotg α)  Y despejamos x:
    k x² = 2 m g h (1 - μ cotg α)
    x² = 2 m g h/k (1 - μ cotg α)
    x = √(2/k m g h (1 - μ cotg α) )

Y ya metemos numeritos:  x = √(2/120 * 2 * 9,8 * 6 * (1 - 0,3 * 1)) => x = 1,17 m se comprime el muelle.

¡Venga!



Ahora el bloque parte de D, donde se halla con energía ED potencial elástica, que se convierte íntegramente en cinética cuando alcanza el pto C. Abandona C y alcanza B sin merma de energía cinética. Desde B asciende por el plano transformando toda su energía cinética en potencial gravitatoria, pero perdiéndose parte de la energía en trabajo de la fuerza de rozamiento, hasta alcanzar un punto A' cuya altura queremos saber.

Entonces: ED = EC => 1/2 k x² = EC  con k = 120 N/m y x=1,17 m que ahora es dato.

ED = 1/2 * 120 *1,17² = 82,32 J
Con toda esta energía llega a C:
EC = 82,32 J
Igualmente se llega a B con toda esa energía ya en forma cinética:
EB= 82,32 J.
Comienza la ascensión por el plano. Toda la energía de B menos un cierto trabajo se convierte en EA'= mgh' :
EB - W = EA' , donde se ve que no toda la energía de B se convertirá en potencial. Tomo el control del signo menos.
    W = Fr * s' = μ m g h' cotg α   como vimos arriba
    W = 0,3 * 2 * 9,8 * h' * 1 => W = 5,88 h'
82,32 - 5,88 h' = 2 * 9,8 * h'    (EA' = mgh')

82,32 = 25,48 h' => h' = 82,32/25,48 => h' = 3,23 m de altura se alcanzan de vuelta. Por supuesto, menos de los 6 m de los que se partió.

Hale, venga.