Foros Ciencias Galilei

Por fin acabo de empezar la universidad(recien mi primer ciclo) e inicio con los vectores, una vez de acabar de leer la teoria me puse a refelexionar sobre ello.

1.Como demostrar que el producto escalar de 2 vectores A y B es
A.B=(AxBx+AyBy+AzBz) sin aplicar que AB=/A//B/cosx o acaso es una definicion,si fuera asi, por que ha de tener esa forma y no otra, cual es el porque de ello?

2.Igualmente con el producto vectorial.En mis libros siempre he visto que dicen que AxB es un vector perpendicular al plano formado por los vectores A y B ,pero no lo demuestran ¿Por que ha de ser perpendicular? y como demostar las definiciones del producto vectorial como por ejemplo que /AxB/=/A//B/senx y que AxB es el resultado de un determinante o si es una definicion indemostrable por que tiene esa forma?

muchas gracias amigos(le pregunte a mi maestro, pero me dijo que tenia que utilizar aunque sea una definicion ,asumiendo que lo es, para demostrar las demas)

En un espacio vectorial se definen dos operaciones: producto escalar y producto vectorial y estan definidas como lo estan porque al que desarrollo esa parte de la matematica le parecio que era interesante definir asi esas propiedades. podia haber definido otras o, p. ej. podia haber decidido que en vez de seguir la regla del tornillo para el producto vectorial siguiese el inverso. No hay ninguna razon especial por la cual tienen que ser como son, excepto que definiendolas asi son utiles y permiten un  desarrollo congruente de la parte de campos vectoriales

A todo lo dicho, añadir un comentario.

El producto escalar de dos vectores referidos a una base {u₁, u₂, u₃} es:

Siendo A y B:
A = a₁ u₁ + a₂ u₂ + a₃ u₃
B = b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃

A·B = (a₁ u₁ + a₂ u₂ + a₃ u₃)·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃) =

a₁ u₁·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃) + a₂ u₂·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃) + a₃ u₃·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃) =

= a₁ u₁ b₁ u₁ + a₁ u₁ b₂ u₂ + a₁ u₁ b₃ u₃ + a₂ u₂ b₁ u₁ + a₂ u₂ b₂ u₂ + a₂ u₂ b₃ u₃ + a₃ u₃ b₁ u₁ + a₃ u₃ b₂ u₂ + a₃ u₃ b₃ u₃ =

a₁ b₁ u₁² + a₂ b₂ u₂² + a₃ b₃ u₃² + 2 a₁ b₂ u₁·u₂ + 2 a₁ b₃ u₁·u₃ + 2 a₂ b₂ u₂·u₂

Si la base es ortogonal (perpendiculares dos a dos) entonces los productos ui·uj = 0 con i≠j, entonces el producto escalar se reduce a:

= a₁ b₁ u₁² + a₂ b₂ u₂² + a₃ b₃ u₃²

Si la base es ortonormal (perpendiculares dos a dos y unitarios) entonces los productos ui·uj = 0 con i≠j y uj·uj = uj² = 1, entonces el producto escalar se reduce a:

= a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ = ∑ a_j·b_j

Este producto mide la tendencia de dos vectores a apuntar hacia una misma dirección, de modo que si giramos uno de los dos vectores observamos que el producto es máximo (|A|·|B|) cuando ambos apuntan en la misma dirección y sentido. (α = 0 => cos α = 1)

Es mínimo (-|A|·|B|) cuando apuntan en la misma dirección pero en sentido opuesto (α = 180º => cos α = -1).

Y es cero si apuntan en direcciones perpendiculares (α = 90º => cos α = 0). Esta idea es importante a la hora de la realización de problemas de geometría.

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Para probar que el producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ambos, basta con hacer:

Sea C:

C = A x B

Se cumple que:

C·A = 0 y C·B = 0 (es facil de hacer)

En cuanto al producto vectorial es un vector que me indica con su dirección y sentido el plano donde los vectores A y B está situados (o uno paralelo) y cuyo módulo es el área del paralelogramos formado por A y B.

También, como el producto escalar, el módulo del vectorial me viene a indicar la tendencia de ambos vectores a mirar en la misma dirección sólo que ahora es al revés. Cuando tienen la misma dirección el producto vectorial es cero y cuando son perpendiculares vale lo máximo y mínimo (±|A||B|) dependiendo de cual esté situado a la izquierda o derecha.

gracias por las respuestas.
Pero difiero en lo  de Galilei que puso:

Siendo A y B:
A = a₁ u₁ + a₂ u₂ + a₃ u₃
B = b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃

A·B = (a₁ u₁ + a₂ u₂ + a₃ u₃)·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃) =

a₁ u₁·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃) + a₂ u₂·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃) + a₃ u₃·(b₁ u₁ + b₂ u₂ + b₃ u₃)

Yo creo que si vas a demostrar el producto punto, ¿Como sabes que es distributiva?, si aun recien estas demostrando de que forma es.

Yo creo que encontre una solucion satisfactoria en el libro de Hasser, La Salle & Sullivan,pues la pongo aqui(lo hago en un paso mas corto):

Se tienen formando un triangulo rectangulo ABC el vector AB que es perpendicular al vector BC, y el que cierra el triangulo es el vector AC
como forman un triangulo rectangulo entonces se cumple el teorema de Pitagoras,entonces:
/A+B/²=/A/²+/B/ ²
(Ax+Bx)²+(Ay+By)²+(Az+Bz)²=(Ax)²+(Ay)²+(Az)²+(Bx)²+(By)²+(Bz)²

Resolviendo y cancelando queda:

AxBx+AyBy+AzBz=0

Vemos que esta relacion se cumple si los vectores A y B son perpendiculares entonces:

Si los vectores A y B  tienen esta relacion:
AxBx+AyBy+AzBz0=0, seran perpendiculares, si es diferente de cero no seran perpendiculares, entonces se nota que esta relacion es importante asi que llamemoslo( definamoslo) asi: A.B
Y este es el sentido de porque A.B tiene esa forma, ahi le veo el sentido, a partir de aqui puedo demostar que A.(B+C) cumple con la propiedad distributiva igual a A.B+A.C
Este resultado me ha hecho sentir satisfecho, pero tengo razon en lo que propongo?

Pero lo que no encuentro en un libro es el porque en la definicion de AXB tiene forma de un determinante, porfavor me pueden ayudar en esta ultima cuestion?.

gracias

No, Hermeneutico, yo no pretendía demostrar nada. Sólo quería avisarte que el producto escalar se hace como crees:

a₁ b₁ + aa₂ b₂ + a₃ b₃

sólo si la base en la que están referidas los vectores (base del espacio vectorial) es ortonormal (perpendiculares y unitarios).

Por ejemplo, la que se maneja en física (en los cursos inferiores- i j k). Si no es así el producto escalar toma la forma general:

a₁ b₁ u₁² + a₂ b₂ u₂² + a₃ b₃ u₃² + 2 a₁ b₂ u₁·u₂ + 2 a₁ b₃ u₁·u₃ + 2 a₂ b₂ u₂·u₂

Releete el mensaje y verás que hablo de tres tipos de bases:

general, ortogonal y ortonormal. El resultado final del producto escalar difiere de una a otra.

Pincha en la palabra producto escalar y verás que especifica el tipo de base para que eso (que crees) sea cierto (Wiki)

Por cierto, cuando puedas completa tu perfil, por favor.