ASÍNTOTA HORIZONTAL

  Muchas veces las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o disminuyendo) constantemente el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a estabilizarse, tendiendo a un número Real (que es el límite). En el caso mostrado se observa cómo la función tiende a uno cuando x tiende a números muy grandes  y cuando tiende a un número muy pequeño (negativos, F(x) tiende a cero por los negativos; por debajo del eje x).

Otro caso es, , donde se observa cómo F(x) tiende a cero cuando x aumenta o disminuye indefinidamente (x → +∞ ► F(x) → 0^-  y  x → -∞  ► F(x) → 0⁺).

  A la recta horizontal (de ecuación y = k) con:

se le llama asíntota horizontal.  El valor (número Real) al que tiende F(x) al crecer (o decrecer) indefinidamente la x. En la ecuación es y = 0 (el eje de las x, abscisa)

Cómo calcular este límite es el problema. El método a utilizar dependerá de la función y del tipo de indeterminación que dé cuando x tiende a valores cada vez mayores (o menores). Indeterminación quiere decir, por ejemplo, que cuando dividimos dos funciones, que ambas tienden a crecer indefinidamente (o a hacerse cada vez más pequeñas → 0^±), la división no nos da un número, es decir, no sabemos el valor del cociente entre dos términos que crecen indefinidamente o que tienden a anularse simultáneamente.

En el caso de cocientes de polinomios no es difícil intuir la solución al problema de la indeterminación. De todos los sumandos que componen un polinomio, el de mayor grado, marcará la tendencia de crecimiento frente a otro polinomio ya que los demás sumandos se podrán despreciar comparándolos con él.

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el primero crecerá más rápido que el segundo y el cociente tenderá a crecer indefinidamente, no teniendo asíntota. Si ocurre lo contrario, que el grado del numerador sea menor que el del denominador, entonces el primero tenderá a hacerse pequeño comparado son el segundo, tendiendo a cero el cociente. Se dice que tiene asíntota horizontal en y = 0. Por último, si ambos grados son iguales, el cociente de sus coeficientes nos dará k, el valor del límite (y = k).

			2x3+3x2+1			2+(3/x)+(1/x3)		2
	k =	Lim	—————	=	Lim	———————	=	——
		x→ ± ∞	3x3+x-1		x→ ± ∞	3+(1/x2)-(1/x3)		3

Todos los términos  a/xⁿ, con x creciendo, tienden a cero. Lo que hemos hecho es dividir el numerador y denominador por el monomio de mayor grado (x³).

Hay otro caso peliagudo cuando intentamos calcular la diferencia de dos funciones divergentes (→ ± ∞). En este caso se suele multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión. Por ejemplo:

						____             _____   (√ 4x2-x  - 2x)(√ 4x2-x  + 2x ————————————             _____           √ 4x2-x  + 2x
	F(x) =	Lim x→ + ∞	_____ √ 4x2-x  - 2x	=	Lim x→ + ∞		=

				- x ———————      _____    √ 4x2-x  + 2x
Lim x→ + ∞	(4x2 - x  - 4x2) ————————        _____      √ 4x2-x  + 2x	=	Lim x→ + ∞		=

Lim x→ + ∞	-1 ————————       ______     √ 4-(1/x)  + 2	=	-1/4

Este valor se ha obtenido después de multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión y, posteriormente, dividiendo el numerador y denominador por x. Verá cómo la función es divergente para x→ - ∞ ya que F(x) → + ∞. Su dominio de definición es : (-∞,0]U[(1/4),+∞].

Observe cómo puede ocurrir, imagen vista arriba, que para x→ +∞  y = k = 1
y para x→ -∞  y = k´ = 0  teniendo dos asíntotas diferentes.