DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

  Sabemos que una función es una aplicación entre dos valores Reales que se relacionan por una regla definida:         x ───►  F(x)       siendo x y F(x) números Reales, Esa relación se represeta por el punto de coordenadas (x, F(x)).
  Por ejemplo, esa regla puede ser asociar a un número, su cuadrado: F(x) = x².  Evidentemente cada número Real (llamado original) tiene su correspondiente imagen, su cuadrado (que es un número Real). En este caso se dice que el DOMINIO de la función son todos los números Reales. A veces ocurre, según qué regla definamos, que no todos los números (originales) tienen su correspondiente imagen. Por ejemplo: a un número le asociamos su inverso    F(x) = 1/x. En este caso, no todos los números Reales tienen imagen; el cero no tiene pues, el cero, no tiene inverso (1/0). Puedes comprobarlo con tu calculadora intentando realizar ese cociente y verás que da error. Esto es así porque 1/0 o cualquier número dividido por cero no es un número. Decimos entonces que el cero no pertenece al dominio de la función inversa de un número. Otro ejemplo práctico sería asociar a un número su raíz cuadrada (el valor positivo de la raíz). Sabemos que los número negativos no tienen raíces para índices pares (cuadradas, cuartas, etc.). En este caso el dominio sería todos los positivos más el cero, que sí tiene raíz.  Por último, podríamos asociar el tiempo de caída libre de una piedra con la distancia recorrida por ésta. d(t) = ½ t², que tiene sentido para valores positivos (o nulo) del tiempo,
    En general, para calcular el dominio de una función F(x) hay que excluir los valores de x que anulen el denominador y todos los valores que hacen negativo el interior de una raíz (de índice par).

Dom F(x) = { x є R » F(x) є R }

Y se lee: Es el conjunto de números reales (originales) tal que (» , /) su imagen sea un número R.
También: Conjunto de originales, x, que tienen imagen F(x).

Ejemplos:

Funciones racionales:

		1
	F(x) =	————
		x2  -  1

Dominio: todo R salvo el 1 y -1, ya que estos originales no tienen imagen (1/0).

		x3
	F(x) =	————
		2·(x2  -  4)

Dominio: todo R salvo el 2 y -2, ya que estos originales no tienen imagen (1/0).

Funciones irracionales:

                    _______  

F(x) = √ ( x² - 4)      Raíz cuadrada de x² - 4 .   Los número Reales que hagan x² - 4 ³ 0 pertenecerán al dominio de esta función. Éstos son los  x ³ 2 y los que x £ -2. El dominio es, por tanto, (-∞,-2] U[2,+∞]. 

Los polinomios tienen por dominio todo R ya que siempre para cada original tienen una imagen.

F(x) = x³ - 2·x² + 1   ;      F(x) = x³ - 6·x² + 9·x    

Las funciones del tipo exponencial tienen, también, todo R. Como F(x) = x·e^x. Si para algún valor de x se anula el denominador entonces, ese valor de x no entrará en el dominio. F(x) = x·e^1/x. Ver ambos casos

La función Log F(x)  (logaritmo) tiene por dominio los valores reales de x que hacen F(x) > 0

Log (x + 2)      Valores mayores que -2, es decir (-2 , ∞). No incluye el -2 pues anula a F(x).
Log (x² - 4)        x² - 4 > 0  ►  (-∞ , -2)  U  (2 , ∞).  Ver ambas, para Ln (neperiano).

Las trigonométrica: sen (x), cos (x) tienen por dominio (-∞ , +∞) o -∞ < x < +∞ o (R).

La función tan (x) tiene por dominio todos los números Reales exceptuando los múltiplos de π + π/2 pues en ellos se anula el cos (x). Recuerde que tan (x) = sen (x)/cos (x).

  Ya sabrá que un intervalo se puede expresar de dos maneras equivalentes:

x > 2  ►   (2 , ∞)     ;      x ≥ 2  ►  [2 , ∞)      ;      3 < x ≤ 6  ► (3 , 6]

    Muchas veces nos planteamos la pregunta que para qué sirven las funciones o si la hemos utilizado alguna vez. Para todos los que estudian física, por ejemplo, las funciones han jugado un papel importante. Quizás no nos hallamos dado cuenta porque en la clase de física la llamamos "fórmulas". Toda fórmula es una función que relaciona varias magnitudes (variable medible). Es decir, unas están en función de otras. En ellas, el dominio juega un papel importante y a veces misterioso. Cuando en una función se anula el denominador, quiere decir que ese valor de la variable independiente (original) no es posible, pues no obtendríamos su correspondiente valor imagen (variable que depende de él). A veces esto es inquietante, como lo vemos en las fórmulas de la Teoría de la Relatividad cuando la velocidad del sistema se iguala a c (velocidad de la luz).

    En la figura vista arriba vemos que cuando la variable x se acerca a -1 y a  1, la función (y = F(x)), tiende a +∞ y -∞, respectivamente. Ninguno de esos valores pertenece al dominio de esta función.